AddClass til næste ul efter første ul

next() refererer til et element der ligger ved siden af det første du har fanget. Altså i samme niveau. Det du gerne vil er at fange det element der ligger som child til det første element. Altså et niveau længere nede.

Du burde kunne bruge $('ul').find('ul').addClass('subnav');

 $(document).ready(function(){
     $("ul > ul").addClass('subnav');
     });

ul > ul selector giver dig ul'en som er direkte barn af ul.

Det er fordi du ikke har inkluderet jquery

 <script type="text/javascript" src="jquery.js"></script>

Øv øv øv...

det virker ikke...

Jeg har lige lagt det på et online subdomæne.
I kan tjekke det her: www.mautone.dk

Det her er min html

 <ul class="nav">
                                     <li><a href="">Profil</a></li>
                                     <li><a href="">Referancer</a></li>
                                     <li><a href="">Info</a>
                                                  <ul>
                                                           <li><a href="">Personlige oplysninger</a></li>
                                                          <li><a href="">Bestilling</a></li>
                                                          <li><a href="">Betaling</a></li>
                                                          <li><a href="">Levering</a></li>
                                                          <li><a href="">Reklamationsret</a></li>
                                                          <li><a href="">Fortrydelsesret</a></li>
                                                          <li><a href="">Salg/levering</a></li>
                                                          <li><a href="">Ordrestatus</a></li>                                                
                                                  </ul>
                                     </li>
                                     <li><a href="">Kontakt</a></li>
                             </ul>

Det her er min jquery

 $(document).ready(function(){
     $('ul').find('ul').addClass('subnav'); 
 });

UPDATE...
Den tilføjer den nu, men jeg kan ikke se den i kildekoden

Den tilføjer den nu, men jeg kan ikke se den i kildekoden

Det er fordi javascript ikke ændre i kildekoden men i DOMen, du kan se hvad der er ændret med firebug evt